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Vergleich von C6 LS3, Z06 und ZR1: Beschleunigung aus dem Stand – ACHTUNG MATHEMATISCHE FORMELN !!! - UncleRobb - 28.05.2012
1. EINLEITUNG
Kürzlich wurde im Forum die Frage erörtert, wie sehr sich die einzelnen Corvette C6-Modelle in ihrem Beschleunigungsvermögen unterscheiden. Nachdem Roger (TurboRoger) das Forum regelmäßig mit entsprechenden Bewegungsgleichungen versorgt, will ich nicht nachstehen und präsentiere an dieser Stelle eine theoretische Behandlung des Vergleichs der C6 LS3, Z06 und ZR1-Modelle bezüglich der Beschleunigung aus dem Stand auf die jeweilige Höchstgeschwindigkeit. Die hier angestellten Berechnungen sind, im Gegensatz zu denen von Roger (TurboRoger), nur halbquantitativ und sollen diese nicht ersetzen.
WARNUNG: Wer keine physikalischen Überlegungen anstellen möchte und keine mathematischen Formeln sehen will, der möge bitte aufhören zu lesen und den Thread schließen, denn letzterer ist voll davon.
2. PHYSIK
Die für eine Beschleunigung a eines Fahrzeugs mit der Masse m erforderliche Kraft F_a ist
F_a = m a (1)
Dieser Kraft wirkt der Luftwiderstand F_L entgegen
F_L = 1/2 Cw A rho v^2 (2)
Cw ist ein Formfaktor, A die Aufstandsfläche, rho die Dichte der Luft und v die Geschwindigkeit des Fahrzeugs. Der Zusammenhang zwischen Radleistung P und Antriebskraft F_P ist
F_P = P / v (3)
Unter Vernachlässigung der Reibungsverluste zwischen Rad und Straße errechnet sich
F_a = F_P – F_L (4)
und es ergibt sich die Beschleunigung in Abhängigkeit der Geschwindigkeit
a = P / (m v) – 1 / (2 m) Cw A rho v^2 (5)
3. FAHRZEUGDATEN
Als Motorleistungen werden für LS3, Z06 und ZR1 436, 512 und 647 PS angenommen. Es wird weiter angenommen, dass der Motor diese Leistung unabhängig von der Drehzahl zur Verfügung stellt. Daneben werden Schaltpausen des Getriebes und die kinetische Energie der rotierenden Massen wie Wellen, Kupplung, Getriebe, Räder vernachlässigt. Der Leistungsverlust durch Getriebe, Antriebswellen und Lager wird zu 30 % angenommen. Die Fahrzeugleergewichte (aufgetankt) seien 1492, 1440 und 1533 kg; das Gewicht des Fahrers und des mitgeführten Zubehörs sei 108 kg. Laut Sportauto sind die Cw-Werte 0.295, 0.31 und 0.32 und die Frontflächen A = 2.00, 2.08 und 2.08 m^2. Die Dichte von Luft bei 20 °C ist rho = 1.2041 kg/m^3.
4. HÖCHSTGESCHWINDIGKEITEN
Die Höchstgeschwindigkeit v_max ist erreicht, wenn a = 0. Aus Gln. (5) folgt dann
v_max = [2 P / (Cw A rho)]^(1/3) (6)
Die entsprechenden Fahrzeugwerte sind: 309, 317 und 339 km/h.
5. C6 LS3: BESCHLEUNIGUNG ALS FUNKTION DER GESCHWINDIGKEIT
Dieser Wert errechnet sich aus Gln. (5). Für die C6 LS3 ergeben sich folgende Werte (mit und ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands).
- UncleRobb - 28.05.2012
6. C6 LS3: BESCHLEUNIGUNG UND GESCHWINDIGKEIT ALS FUNKTION DER ZEIT
Beschleunigung und Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ergeben sich aus der Gln. (5), die allerdings im Limes v -> 0 unphysikalisch ist, da sie dort eine Singularität, d.h. a = unendlich, auffweist, denn es lassen sich nur Beschleunigungen bis etwa 1 g verwirklichen. Die Integration der Differenzialgleichung kann nummerisch erfolgen, es soll aber hier ein analytisches Verfahren verwendet werden. Dazu wird der Wertebereich von v in drei Teile aufgespalten. Da ist zum einen der Bereich von 0 < v < v1 in der die Motorleistung so groß ist, dass sie die Haftung der Antriebsräder überfordert und nur eine Beschleunigung erzielt werden kann, die der Einfachheit halber als 1 g angenommen wird.
Zum zweiten ist der Bereich v1 < v < v2 in dem die gesamte Radleistung zum Vortrieb genutzt werden kann und in dem der Luftwiderstand, Gln. (2), vernachlässigt werden kann. In diesem Bereich ergibt sich für die kinetische Energie
E(t) = m/2 v1^2 + P t = m/2 v^2 (7)
und damit
v(t) = [v1^2 + (2 P / m) t]^(1/2) (8)
Im dritten Bereich ist der Luftwiderstand bedeutsam und er reicht bis zur Höchstgeschwindigkeit. Im Limes v -> v_max ist a(v) linear in der Geschwindigkeit v. Es gilt daher die asymptotische Näherungsformel, die bereits von Roger (TurboRoger) verwendet wurde
a(v) = a(0) – k v, k > 0 (9)
Mit dem Ansatz
v(t) = v_max [1 – Exp(- k t)] (10)
ergibt sich für die Beschleunigung
a(t) = dv/dt = k v_max Exp(- k t) (11)
mit
k = a(0) / v_max (12)
Bei den Berechnungen wird schließlich v2 = 150 km/h verwendet. Das Ergebnis ist für die C6 LS3 im folgenden Graphen dargestellt.
- UncleRobb - 28.05.2012
7. VERGLEICH VON C6 LS3, Z06 UND ZR1: GESCHWINDIGKEIT UND WEGSTRECKE ALS FUNKTION DER ZEIT
Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeiten, bzw. die zurückgelegten Wegstrecken der C6 LS3, Z06 und ZR1 als Funktion der Zeit.
- UncleRobb - 28.05.2012
...
- UncleRobb - 28.05.2012
Die Beschleunigung von 0 – 100 km/h erfolgt für die C6 LS3, Z06 und ZR1-Modelle in 3.5, 3.2 bzw. 3.0 s, die von 0 – 200 km/h in 10.9, 9.3 bzw. 8.2 s und schließlich die von 0 – 300 km/h in 37.3, 27.1 bzw. 19.9 s. Die Viertelmeile (402 m) wird nach 11.4, 10.9 bzw. 10.5 s erreicht, mit Geschwindigkeiten von 205, 218 bzw. 230 km/h.
Und hier schließlich das Ergebnis, auf das alle (die bis jetzt durchgehalten haben) gewartet haben: Bei 200 km/h hat die Z06 auf die LS3 einen Vorsprung von nur 18 m; die ZR1 fährt dann nur 20 m vor der Z06.
Bei 300 km/h sieht das aber schon anders aus: Wenn die Z06 diese Geschwindigkeit erreicht hat, ist die LS3 bereits 107 m zurückgefallen und die ZR1 hat einen Vorsprung von 117 m.
Zum Schluss nochmal ein Disclaimer: Dies sind alles Modellrechnungen und keine Messwerte; desweiteren wurden diverse Vereinfachungen und Näherungen benutzt. Die Ergebnisse erscheinen vernünftig, sie müssen aber letztlich durch entsprechende Messungen auf einer geeigneten Teststrecke bestätigt werden.
Gruß, Robert
- badboy1306 - 28.05.2012
Robert
Roger was sagst du dazu 
- speed300 - 28.05.2012
Also müsste die Kompressor Fraktion zwischen der ZR1 und Z06 liegen...
Robert, danke für die Grafik......
Gruß
W.
- JR - 28.05.2012
Zitat:0 – 200 km/h in 10.9, 9.3 bzw. 8.2 s
Schöne Formeln und Ergebnisse, die aber leider nichts mit der Realität zu tun haben!
Gruß
JR
- speed300 - 28.05.2012
Onkel Robb schrieb ja
"Als Motorleistungen werden für LS3, Z06 und ZR1 436, 512 und 647 PS angenommen. Es wird weiter angenommen, dass der Motor diese Leistung unabhängig von der Drehzahl zur Verfügung stellt."
Also hat das auch nichts mit der Realität zu tun, trotzdem ist das interessant bei diesen Angaben zu sehen wie viel Meter man wegfahren würde bei dieser Konstellation.....
Gruß
W.
- UncleRobb - 28.05.2012
Zitat:Original von JR
Zitat:0 – 200 km/h in 10.9, 9.3 bzw. 8.2 s
Schöne Formeln und Ergebnisse, die aber leider nichts mit der Realität zu tun haben!
Gruß
JR
Zitat:Original von UncleRobb
Die hier angestellten Berechnungen sind, im Gegensatz zu denen von Roger (TurboRoger), nur halbquantitativ und sollen diese nicht ersetzen.
Zitat:Original von UncleRobb
Dies sind alles Modellrechnungen und keine Messwerte; desweiteren wurden diverse Vereinfachungen und Näherungen benutzt. Die Ergebnisse erscheinen vernünftig, sie müssen aber letztlich durch entsprechende Messungen auf einer geeigneten Teststrecke bestätigt werden.
"Nichts mit der Realität zu tun haben" ist übertrieben. Es sind eben halb-quantitative Modellrechnungen.
Gruß, Robert